sábado, 16 de octubre de 2010

Proporcionalidad

Proporción

Razón es el cociente de 2 números, esto es, el número fraccionario a/b, siendo el numerador a el antecedente y el denominador b el consecuente.

Proporción es la igualdad entre 2 razones: a/b = c/d. La proporción es directa si la razón de cada par de valores es constante y es inversa cuando el producto de cada par de valores es constante.

Una cantidad homogénea es aquella que corresponde a una misma magnitud. La razón o cociente entre dos cantidades homogéneas es la que expresa el valor de la primera cantidad, tomando la segunda como unidad.
Cantidades heterogéneas son aquellas relativas a magnitudes distintas.

La razón inversa es aquella que tras el producto consigo misma da la unidad.
Por ejemplo, la inversa de 3/5 es 5/3, ya que 3/5 × 5/3 es igual a 1.

Una proporción es la igualdad entre dos razones.
a/b=c/d, a d se llaman extremos y b c medios.
Por ejemplo, 6/3 =8/4, ya que ambas son igual a 2.

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

6/3=8/4, 6x4=24, 3x8=24

A uno cualquiera de los términos de la proporción se le llama cuarto proporcional.

Proporción continua es la que tiene iguales los medios con los extremos.

3/6=6/12

En una proporción continua cada uno de los términos iguales se le llama media proporcional, mientras que a los términos desiguales se les llama tercero proporcional.
3/6=6/12, 6 es el medio proporcional, mientras que el 3 y el 12 son terceros proporcionales.

La media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los otros dos términos.

Un tercero proporcional es igual al cociente entre el cuadrado del medio proporcional y el otro tercero.

Una proporción a/b= c/d se puede escribir permutando los medios a/ c = b /d , permutando los extremos d/b = c/a, invirtiendo las razones b/a=d/c , o permutando las razones anteriores c/d = b/a, b/d=a/c, c/a=d/b, d/c=b/a

En toda proporción, cada antecedente es a su consecuente como la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes.
a/b= c/d = a+c/b+d

En toda proporción, cada antecedente es a su consecuente como la diferencia de antecedentes es a la diferencia de los consecuentes.
a/b= c/d = a-c/b-d

En toda proporción la suma de antecedentes es a la suma de consecuentes como la diferencia de antecedentes es a la diferencia de consecuentes.
a+c/b+d= a-c/b-d

Proporcionalidad entre rectas
Si un par de rectas son cortadas por un conjunto de rectas paralelas equidistantes, los segmentos correspondientes son proporcionales.

Las figuras siguientes son proporcionales pues tienen sus lados proporcionales, 3 unidades de una figura corresponden a 5 de la otra, y ello se cumple en todos los lados. Ello quiere decir que una figura es 3/5 de la otra, o bien que ésta es 5/3 del anterior. Hacer la escala 5/3 significa coger el segmento dividirlo en tres partes y sumarle dos, con lo cual la dimensión tres pasa a ser dimensión cinco. Hacer un segmento a escala 3/5, significa dividir el segmento en cinco partes y tomar tres de las cinco.











Cuaterna armónica


Escalas

Escalas
Es la razón entre un dibujo y el objeto real.

Escala = medida del dibujo/ medida real.

Puede ser natural, de reducción o de ampliación, según sean las dimensiones del dibujo iguales, menores o mayores que el objeto a representar.

Ejemplos:

De reducción:
1/100 quiere decir que 1 cm en el dibujo son 100 cm o 1 m en la realidad.

1/25 quiere decir que 1 cm en el dibujo son 25 cm o ¼ de m en la realidad. Si dividimos 1/25=0,04, o sea, 1m a escala 1/25 es 0,04 m, esto es 4 cm.

De ampliación:
1/200 quiere decir que 1 cm en el dibujo son 200 cm o 2 m en la realidad.
½ cm (5mm) será 1m.
¼ cm (2,5 mm) será 1/2m (50 cm).

Escala gráfica y triángulo universal de escalas:
Si sobre una línea marcamos los cm tendremos la escala 1/100. Si dibujamos una radiación de vértice M incidente en la vertical que pasa por el punto 0, podemos dibujar diferentes escalas:
Por el punto 0,5 levantando una vertical cortará a la 1ª línea m según el punto P. Por aquí pasa la escala 1/200.
Por el punto 2 dibujando una vertical cortará a la 1ª línea m según el punto T. Por aquí pasa la escala 1/50.
Por el punto 4 obtendremos la escala 1/25, por el 5 obtendremos la escala 1/20, por el 10 obtendremos la escala 1/10, por el 100 obtendremos la escala natural 1/1, etc.
Podemos subdividir cada unidad de cada escala, del 0 al 1 entre 10, para obtener la contraescala.
















Una figura se transforma en otra mediante una homotecia de razón 5/8. Para construir las figuras homotéticas, se hace un segmento a partir de la figura roja, por ejemplo, y con la regla se divide en ocho unidades. Por el punto ocho lo unimos con el vértice de una figura, y por el cinco hacemos una recta paralela a la anterior hasta que corte al lado del polígono rojo.
Con esto hemos dividido el segmento que tenía una dimensión proporcional a ocho, en 5/8, esto es, hemos cogido cinco partes de ocho.
Como sabemos que la homotecia conserva el paralelismo, por este punto que calculamos, hacemos una paralela al lado de la figura, sabiendo que todos los vértices están alineados en rectas que pasan por el centro de proyección de la homotecia, que en este caso es el vértice común de las dos figuras.
















Una homotecia desde el centro que es vértice común de los dos triángulos, transforma un triángulo en otro en razón de 7/4. La homotecia se considera positiva si los puntos homólogos están del mismo lado respecto al centro de proyección, como es este caso. Si el centro de proyección queda entre las dos figuras la homotecia es negativa.

Semejanzas

Semejanza es el producto de una homotecia por un movimiento.

Semejanza de figuras
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Razón de semejanza
En 2 figuras semejantes razón de semejanza es el cociente de dos lados homólogos.

Forman grupo:
1- Operación interna: el producto de 2 semejanzas es otra semejanza.
2- Es asociativa
3- Tiene elemento neutro que es la semejanza unidad o igualdad de figuras.
4- Posee elemento simétrico que es el paso de A’ a A.

Propiedades
1- Reflexiva: toda figura es semejante a sí misma
2- Simétrica: Si una figura es semejante a otra, ésta lo es a la 1ª
3- Transitiva: Si una figura es semejante a otra, y ésta a una 3ª, la 1ª lo es a la 3ª.



Los triángulos A y B son homotéticos y B se transforma en C mediante un giro de centro M. Una homotecia más un giro, esto es, el producto de una homotecia más un movimiento hace que A y C sean semejantes pero no homotéticos (ya que la homotecia debe conservar la alineación de los puntos homólogos de los triángulos con el centro N). Por tanto A B C son todos semejantes entre sí pero sólo A y B son homotéticos.


Aquí observamos una homotecia cuyo centro está en el punto A. el segmento CD se transforma en el segmento C’D’ ampliándose su escala a 8/5. De igual forma el segmento BC se transforma en el segmento B’C’a la misma escala, 8/5. El hecho de que el segmento AD se transforme en A’D’ en una relación de 8/5 significa que los dos triángulos ACD y AC’D’ teniendo uno de sus lados transformado a 8/5, los demás también se transforman en igual medida sí tienen como es en este caso los lados paralelos, ya que todos los lados se escalan proporcionalmente.



Para transformar este polígono regular de color violeta en el polígono regular azul dado el lado, se coloca sobre uno de los rayos que parte del centro y que va a alinear el lado del polígono azul, paralelo al lado del polígono violeta.
Se desplaza de forma que, como en las traslaciones, se mantenga el paralelismo del segmento respecto al original hasta que corte a otro rayo que pase por el centro y el vértice del polígono violeta. En el momento en que el lado del polígono azul desplazado corte a ese rayo tenemos que hemos colocado el lado del polígono en el lugar exacto para construirlo de manera que los dos polígonos quedan concéntricos.


Aquí observamos un triángulo que se transforma a escala 5/8 desde el centro c. Siguiendo el procedimiento de escalado, hacemos un segmento desde el centro de la homotecia y tomamos ocho unidades con la regla unimos el ocho con A y por el cinco hacemos una paralela hasta que corta al lado en el punto T. Por éste. Hacemos una recta paralela TD a la recta AM. Tenemos entonces que los lados de los dos triángulos son paralelos o coincidentes y que todos los puntos están alineados con el centro de proyección.


Una circunferencia verde de radio tres se transforma desde su centro en otra de color violeta de radio cinco. Decimos que las dos son homotéticas por transformarse desde un centro O de manera que son circunferencias concéntricas transformadas en una razón de 5/3.

Un ejercicio que se puede resolver mediante homotecia, se trata de hacer del cuadrado mayor posible dentro de este triángulo, de manera que las bases de ambos sean colineales. Se construye un cuadrado cualquiera con un vértice incidente en un lado del triángulo y coincidente en la base con el mismo. Por el vértice inferior izquierdo del triángulo se hace una recta que pase por el vértice superior derecho del cuadrado hasta que corte al lado del triángulo. A partir de este punto de intersección con el lado del triángulo hacemos los lados paralelos al cuadrado original obteniendo así el cuadrado azul, el de mayor dimensión cuyos vértices tocan a dos lados del triángulo y cuyas bases son coincidentes.

Homotecias


Los centros de gravedad de las caras de un tetraedro regular son los vértices de otro tetraedro regular homotético.
Tenemos un tetraedro mayor y otro tetraedro homotético del anterior que tendrán todos sus vértices alineados correspondientemente con el centro de la homotecia. Si unimos el centro de cada cara que es en realidad su centro de gravedad, con cada vértice del tetraedro regular obtenemos en la intersección de estas líneas el centro de la homotecia G.
En el triángulo AVD se tiene que VA’/VD=AV’/AD=2/3
Luego los segmentos A’V’ y AV son paralelos y se tiene que están relacionados a un tercio. De igual forma acaece con las aristas.
Los triángulos AVG y A’V’G son semejantes por tanto GV’/GV=1/3.
G es el centro de la homotecia y de la semejanza entre las aristas de los dos tetraedros que se corresponden mediante la autodualidad, que quiere decir que si tomamos los puntos medios de cada cara del tetraedro regular obtenemos la misma figura, en este caso relacionada con la anterior en una homotecia inversa.
homotecia razón -2 - GeoGebra Hoja Dinámica











Página sobre homotecia plana y espacial:
http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/homotecia.html
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homotecia razón -2


Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos posibles.
Si la razón es negativa el centro de la homotecia está entre las 2 figuras.



















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triángulos homtéticos factor 2 - GeoGebra Hoja Dinámica
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Triángulos homotéticos factor 2

Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos posibles.
Si la razón es positiva las 2 figuras están de un mismo lado del centro.




















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Homotecia
Transformación geométrica en la que a cada punto A de una figura le corresponde otro A’ de forma que estén alineados con otro (centro O) y la razón k entre ellos sea constante: OA/OA’=k

Dos figuras homotéticas son homólogas y tienen sus lados correspondientes paralelos y son proporcionales: a/a’= b/b’=k

La homotecia conserva los ángulos.
El producto de 2 homotecias de distinto centro y potencia es otra homotecia cuyo centro está alineado con los otros dos.
Forman grupo:
5- Operación interna: el producto de 2 homotecias es otra homotecia.
6- Es asociativa.
7- Tiene elemento neutro que es la homotecia de potencia k = 1.
8- Posee elemento simétrico.



A la izquierda, un cuadrado se transforma en otro estando el centro de la homotecia en el vértice O de ambas en una razón de 7/4.
A la derecha una circunferencia se transforma en otra desde el centro O a razón de 5/3. En este caso como el centro de la homotecia está en el extremo de un diámetro de la circunferencia original, este es un punto invariante en la transformación, con lo cual las dos circunferencias son tangentes en este punto.


En toda homotecia se cumplen varias propiedades: que el centro de proyección alinea los puntos homotéticos con él. Que las figuras homotéticas tienen sus lados paralelos y conservan sus ángulos. Que existe una relación de proporcionalidad entre las dos figuras homotéticas. Que las figuras homotéticas son siempre iguales de forma pero, por regla general, de distinto tamaño, con lo que la homotecia se transforma en un método directo para cambiar de escala gráficamente. La homotecia es una homología plana en la que los lados homotéticos se cortan en la recta del infinito.

La homotecia es directa o positiva si las dos figuras quedan del mismo lado respecto al centro de proyección mientras que es inversa o negativa si ocurre lo contrario, como en este caso en el que un triángulo se transforma en el otro desde un centro mediante un homotecia.
Como en toda homotecia se constatan todas las propiedades de la homotecia: que los lados de las figuras homotéticas son paralelos, que se cambia la dimensión de todos los lados proporcionalmente, que se conserva los ángulos, que posee cada par de puntos homotéticos alineados con el centro de proyección, etc.


Otro ejercicio aparte del típico de cambio de escala que se puede resolver mediante la aplicación de una homotecia lo tenemos en el siguiente ejemplo.
Dadas dos rectas a b, determinar la dirección que debe seguir otra recta para que pasando por el punto P se corte con las dos rectas dadas a b.
Se hace un triángulo cualquiera m, (azul en el dibujo), de manera que uno de sus vértices coincida con el punto dado P, y los otros dos vértices estén sobre las rectas dadas a b. Se construye otro triángulo que tenga los lados paralelos al anterior y que contenga sus vértices también incidentes en las rectas dadas a b. Este triángulo dibujado en color ocre, es homotético del anterior, lo que quiere decir que los vértices de ambos triángulos están alineados con un centro de proyección, y como los otros dos vértices ya los tiene alineados, los dos vértices que faltan se cortaran en el mismo centro de proyección que no es otro lugar que la intersección de las rectas a b.
Por tanto la recta que corta a las otras dos y que pasa por el punto P viene dada por el vértice T del triángulo ocre: la recta PT verde corta a las rectas a b y pasar por P.









Dadas dos rectas a b y un punto P sobre a, construir otro punto O que equidiste de la recta b y del punto dado P.
Construimos dos rectas que se corten con el mismo ángulo que las dadas y tomamos un punto T de una de ellas desde el que hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la otra recta obteniendo M como punto de tangencia. Tenemos que esta circunferencia corta a la paralela a a en el punto S.
Alineamos P con S y los vértices de las rectas que se cortan obteniendo en la intersección de estas dos rectas el punto V, que es el centro de la nueva homotecia. Alineando este punto con T y M obtenemos en la intersección de las rectas a b los puntos O M', respectivamente. Se tiene que PO=OM', que era lo que se quería encontrar.









Dadas tres rectas abc y una circunferencia m, construir un triángulo T inscrito en la misma cuyos lados sean paralelos a las rectas dadas.


Se construye un triángulo J con los lados paralelos a las rectas dadas y en la intersección de las mediatrices de sus lados tenemos el centro de la circunferencia S circunscrita al mismo. Hacemos las dos rectas tangentes exteriores a las circunferencias obteniendo el punto P y alineamos los tres puntos del triángulo J con el centro de proyección P hasta que corten a la circunferencia m teniendo en los tres puntos de intersección el triángulo inscrito T en m.





Cónicas homotéticas

Mover los puntos para observar distintas cónicas homotéticas




















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Dada la elipse amarilla, se trata de construir dos elipses homotéticas de razón 2/5 la primera y 7/3 la segunda. Para ser más precisos en la construcción vamos a calcular los ejes de la elipse, hacemos dos líneas e t secantes, (en color verde) y tomamos los puntos medios ZW de ambas, al unirlos prolongamos ese segmento de color rojo que corta al elipse en dos puntos. Tomamos el punto medio S de éste segmento y hacemos una circunferencia c (de color rosa) de radio aleatorio. Esta circunferencia corta al elipse en AB, puntos por los que hacemos dos circunferencias m n de igual radio. Ambas circunferencias se cortan en un punto I que unimos con el centro de la elipse S. Esta es la dirección del eje mayor y los cortes con la elipse de esta dirección nos determinan los vértices extremos de este eje. El eje menor es una línea perpendicular a la anterior. 
Para construir ahora las elipses a distinta escala hacemos las figuras homotéticas de los ejes, por ejemplo, unimos el vértice que tiene el número tres con el centro del homotecia O y esa línea la dividimos en cinco partes, tomando dos de ella, tenemos por tanto que por 2/5 de este segmento pasa el vértice del extremo mayor de la elipse azul.
Para la elipse de color rosa tenemos que la amarilla la debemos transformar en otra 7/3 mayor, por tanto hacemos una recta que pase por el punto 3 y la dividimos en tres partes hasta este punto, a continuación prolongamos la recta cuatro unidades más con la dimensión anterior, teniendo así el número siete. De esta manera hemos hecho una recta de tres unidades que pasa a tener siete unidades, esto quiere decir 7/3 mayor. 
Con los otros vértices de los ejes hacemos exactamente lo mismo y dibujamos por tanto elipses proporcionales desde un centro, lo que se llama un homotecia. Si hacemos las tangentes comunes a las tres elipses tenemos que se cortan siempre en el centro de la homotecia O.




Dada una elipse amarilla, se trata de construir otra elipse homotética de la anterior de razón ¾, sabiendo que el centro de la transformación es el punto O.
Si hacemos una recta cualquiera OM que una el centro O de la homotecia con cualquier punto de la elipse M y dividimos este segmento, conforme al teorema de Tales, en cuatro partes iguales (hacemos una recta cualquiera que pase por el centro O y tomamos sobre ella 4 cm, uniendo el punto cuatro con M tenemos la dirección de la línea de la que vamos a hacer paralelas por los demás puntos, nos interesa la que pasa por el punto 3, la intersección de la paralela que pasa por éste punto con la línea OM es el punto transformado de la elipse). En realidad tomamos tres partes de las cuatro en las que queda dividido, obteniendo así el punto M’. Hacemos lo mismo con todos los puntos de la elipse: hacemos una recta que pasa por el centro y por cualquier punto de al elipse y tomamos ¾ de esta recta, de esta manera se van obteniendo todos los puntos del elipse ¾ menor.





Tenemos una circunferencia amarilla de la que queremos construir circunferencias proporcionales a la misma desde un centro O. La razón de proporción es 4/5 para la circunferencia azul c. Si construimos una recta tangente verde a la circunferencia amarilla desde el centro O tenemos que  unir el punto de tangencia 5 con el centro O, dividimos éste segmento en cinco partes y tomamos cuatro, por el punto número cuatro tenemos la circunferencia tangente a la anterior y 4/5 menor.
Si la razón de homotecia en vez de ser de 4/5 es de -4/5 tenemos que la circunferencia aparece por el lado opuesto al vértice, en un homotecia negativa como es este caso las figuras están separadas por el centro O, por lo que en este caso la razón negativa genera una circunferencia c en color rojo que aparece a la derecha del dibujo. Tenemos por último la circunferencia 8/7 mayor que la circunferencia dada original, el procedimiento es el mismo, no obstante si queremos prescindir del cálculo de las tangentes podemos unir el centro de la circunferencia amarilla 7 con O y dividir este segmento en siete partes, aumentando una parte tenemos el centro de la nueva circunferencia, (en el dibujo aparece con el número ocho). Si unimos un punto cualquiera P de la circunferencia amarilla con su centro siete tenemos la dirección que vamos a seguir para obtener el punto de la nueva circunferencia ocho septimos mayor: por el centro de la circunferencia ocho hacemos una recta paralela a la dirección 7P hasta que corta a la recta OP en el punto P’. La circunferencia de centro ocho y radio 8P’ es la circunferencia 8/7 mayor que la anterior.





En la figura tenemos un pentágono regular de color amarillo A que lo transformamos mediante una homotecia en otros pentágonos regulares de diferente escala. El pentágono de color naranja es la mitad del anterior por lo que su escala es un medio, mientras que el pentágono azul mayor es 7/4 más grande que el amarillo, ya que podemos tomar un vértice del pentágono amarillo y unirlo con el centro y tenemos cuatro unidades, que al ampliarle tres unidades a la prolongación de su segmento obtenemos un pentágono cuyas líneas de crecimiento son 7/4.
Si queremos transformar el pentágono azul B en otro de la misma escala pero mediante una razón de homotecia negativa -1/1, tomaremos los segmentos que definen cada vértice del pentágono con el centro y los prolongaremos hacia la derecha tomando distancias iguales, el nuevo pentágono es del mismo tamaño y relaciona sus vértices con el anterior mediante una simetría central de centro O. 
Si queremos construir un pentágono de razón -4/5 respecto al pentágono azul, tomaremos 4/5 de los segmentos que unen el centro con cada uno de los vértices, de esta manera obtenemos el nuevo pentágono de color verde. Cuando decimos que el pentágono es -4/5 quiere decir que si un lado del pentágono azul mide cinco, cualquier lado del pentágono verde mide cuatro. El signo negativo quiere decir que la transformación deja ambas figuras opuestas respecto al centro de homotecia. Cuando las dos figuras están del mismo lado la homotecia es positiva.