Homotecias

En la figura de la izquierda podemos ver un rectángulo de dimensiones 5 × 2, lo escalamos desde el punto A con un factor tres, esto es tres veces mayor. Por tanto el segmento AB se triplica obteniendo así el punto B', homotético de B.  La nueva figura que sale es un rectángulo tres veces mayor que triplica también los lados del mismo, manteniendo sus lados paralelos como en toda homotecia. Por tanto es como si salieran la suma de nueve rectángulos iguales que el original, en consecuencia el área del primero era 10,  2 × 5 mientras que el segundo es nueve veces mayor, esto es 6 × 15 igual a 90.
El perímetro o suma de los lados en el primer caso es de 14, esto es, 5+2+5+2 , también se triplica en su homotético, pasando a ser tres veces mayor, esto es, 42 esto es, 15+6+15+6.
Si aplicamos una homotecia en el espacio, tal y como vemos en la figura de la derecha, se puede decir que la nueva figura incrementa cada una de sus aristas tres veces, que sería lo mismo que poner los nueve prismas de la base en tres filas, esto es, 27 prismas. Esto quiere decir que el volumen de la primera que es el producto de las tres aristas: 5 × 2 × 3 y cuyo valor es 30, hay que multiplicarlo por 27 veces teniéndose el volumen real de la nueva figura  810   (9 × 15 × 6)  obtenida por una homotecia espacial.

La relación entre el área original y el área final en la  homotecia plana es la siguiente:

 área final = área original . Razón²

En el ejemplo de la imagen:     90 = 10. 3²

Los centros de gravedad de las caras de un tetraedro regular son los vértices de otro tetraedro regular homotético.

Tenemos un tetraedro mayor y otro tetraedro homotético del anterior que tendrán todos sus vértices alineados correspondientemente con el centro de la homotecia. Si unimos el centro de cada cara que es en realidad su centro de gravedad, con cada vértice del tetraedro regular obtenemos en la intersección de estas líneas el centro de la homotecia G.

En el triángulo AVD se tiene que VA’/VD=AV’/AD=2/3

Luego los segmentos A’V’ y AV son paralelos y se tiene que están relacionados a un tercio. De igual forma acaece con las aristas.

Los triángulos AVG y A’V’G son semejantes por tanto GV’/GV=1/3.

G es el centro de la homotecia y de la semejanza entre las aristas de los dos tetraedros que se corresponden mediante la autodualidad, que quiere decir que si tomamos los puntos medios de cada cara del tetraedro regular obtenemos la misma figura, en este caso relacionada con la anterior en una homotecia inversa.

Página sobre homotecia plana y espacial:

http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/homotecia.html

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homotecia razón -2 Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos posibles. Si la razón es negativa el centro de la homotecia está entre las 2 figuras. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

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Triángulos homotéticos factor 2 Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos posibles. Si la razón es positiva las 2 figuras están de un mismo lado del centro. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Homotecia Transformación geométrica en la que a cada punto A de una figura le corresponde otro A’ de forma que estén alineados con otro (centro O) y la razón k entre ellos sea constante: OA/OA’=k Dos figuras homotéticas son homólogas y tienen sus lados correspondientes paralelos y son proporcionales: a/a’= b/b’=k La homotecia conserva los ángulos. El producto de 2 homotecias de distinto centro y potencia es otra homotecia cuyo centro está alineado con los otros dos. Forman grupo: 5- Operación interna: el producto de 2 homotecias es otra homotecia. 6- Es asociativa. 7- Tiene elemento neutro que es la homotecia de potencia k = 1. 8- Posee elemento simétrico. A la izquierda, un cuadrado se transforma en otro estando el centro de la homotecia en el vértice O de ambas en una razón de 7/4. A la derecha una circunferencia se transforma en otra desde el centro O a razón de 5/3. En este caso como el centro de la homotecia está en el extremo de un diámetro de la circunferencia original, este es un punto invariante en la transformación, con lo cual las dos circunferencias son tangentes en este punto. En toda homotecia se cumplen varias propiedades: que el centro de proyección alinea los puntos homotéticos con él. Que las figuras homotéticas tienen sus lados paralelos y conservan sus ángulos. Que existe una relación de proporcionalidad entre las dos figuras homotéticas. Que las figuras homotéticas son siempre iguales de forma pero, por regla general, de distinto tamaño, con lo que la homotecia se transforma en un método directo para cambiar de escala gráficamente. La homotecia es una homología plana en la que los lados homotéticos se cortan en la recta del infinito. La homotecia es directa o positiva si las dos figuras quedan del mismo lado respecto al centro de proyección mientras que es inversa o negativa si ocurre lo contrario, como en este caso en el que un triángulo se transforma en el otro desde un centro mediante un homotecia. Como en toda homotecia se constatan todas las propiedades de la homotecia: que los lados de las figuras homotéticas son paralelos, que se cambia la dimensión de todos los lados proporcionalmente, que se conserva los ángulos, que posee cada par de puntos homotéticos alineados con el centro de proyección, etc. Otro ejercicio aparte del típico de cambio de escala que se puede resolver mediante la aplicación de una homotecia lo tenemos en el siguiente ejemplo. Dadas dos rectas a b, determinar la dirección que debe seguir otra recta para que pasando por el punto P se corte con las dos rectas dadas a b. Se hace un triángulo cualquiera m, (azul en el dibujo), de manera que uno de sus vértices coincida con el punto dado P, y los otros dos vértices estén sobre las rectas dadas a b. Se construye otro triángulo que tenga los lados paralelos al anterior y que contenga sus vértices también incidentes en las rectas dadas a b. Este triángulo dibujado en color ocre, es homotético del anterior, lo que quiere decir que los vértices de ambos triángulos están alineados con un centro de proyección, y como los otros dos vértices ya los tiene alineados, los dos vértices que faltan se cortaran en el mismo centro de proyección que no es otro lugar que la intersección de las rectas a b. Por tanto la recta que corta a las otras dos y que pasa por el punto P viene dada por el vértice T del triángulo ocre: la recta PT verde corta a las rectas a b y pasar por P. En la figura tenemos un triángulo de color verde que se transforma en sí mismo desde un centro de homotecia  D (punto de color rojo central) mediante la razón K de valor uno. Al aplicar una razón doble K=2, obtenemos el triángulo azul, observamos que todos los puntos homotéticos correspondientes están alineados con el centro de proyección de la homotecia D.  Proporcionalmente tenemos que los lados del triángulo azul son doblemente mayores que los del triángulo verde. Volvemos a coger el mismo centro de homotecia y transformamos el triángulo verde en el amarillo de manera que es tres veces mayor, su razón es tres. Por último, aplicamos una razón de homotecia de cuatro unidades y obtenemos el triángulo naranja de la derecha, con sus lados cuatro veces mayor y las distancias también cuatro veces mayor: la distancia del centro de homotecia a un punto del triángulo verde es cuatro veces menor que la distancia del centro de homotecia homotético del triángulo naranja, sea vértice, punto de la arista, o punto del triángulo en cualquier lado. Si aplicamos una razón negativa, tenemos que cuando vale la unidad,  el triángulo verde se transforma en el amarillo pero ambos quedan en lados diametralmente opuestos respecto al centro de la homotecia. Cuando la razón es -2 tenemos un triángulo tan grande como el azul pero del otro lado, o sea, el triángulo naranja. Por último podemos ver el triángulo de color siena de razón de homotecia -3, como podemos ver en todos los casos es un cambio de escala, salvo en la unidad que permanece igual, y la propiedad fundamental se mantiene: los lados correspondientes homotéticos permanecen paralelos y proporcionales al original. Dadas dos rectas a b y un punto P sobre a, construir otro punto O que equidiste de la recta b y del punto dado P. Construimos dos rectas que se corten con el mismo ángulo que las dadas y tomamos un punto T de una de ellas desde el que hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la otra recta obteniendo M como punto de tangencia. Tenemos que esta circunferencia corta a la paralela a a en el punto S. Alineamos P con S y los vértices de las rectas que se cortan obteniendo en la intersección de estas dos rectas el punto V, que es el centro de la nueva homotecia. Alineando este punto con T y M obtenemos en la intersección de las rectas a b los puntos O M', respectivamente. Se tiene que PO=OM', que era lo que se quería encontrar. Dadas tres rectas abc y una circunferencia m, construir un triángulo T inscrito en la misma cuyos lados sean paralelos a las rectas dadas. Se construye un triángulo J con los lados paralelos a las rectas dadas y en la intersección de las mediatrices de sus lados tenemos el centro de la circunferencia S circunscrita al mismo. Hacemos las dos rectas tangentes exteriores a las circunferencias obteniendo el punto P y alineamos los tres puntos del triángulo J con el centro de proyección P hasta que corten a la circunferencia m teniendo en los tres puntos de intersección el triángulo inscrito T en m. Página sobre homotecias y homologías en el espacio.

Cónicas homotéticas Mover los puntos para observar distintas cónicas homotéticas This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

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Dada la elipse amarilla, se trata de construir dos elipses homotéticas de razón 2/5 la primera y 7/3 la segunda. Para ser más precisos en la construcción vamos a calcular los ejes de la elipse, hacemos dos líneas e t secantes, (en color verde) y tomamos los puntos medios ZW de ambas, al unirlos prolongamos ese segmento de color rojo que corta al elipse en dos puntos. Tomamos el punto medio S de éste segmento y hacemos una circunferencia c (de color rosa) de radio aleatorio. Esta circunferencia corta al elipse en AB, puntos por los que hacemos dos circunferencias m n de igual radio. Ambas circunferencias se cortan en un punto I que unimos con el centro de la elipse S. Esta es la dirección del eje mayor y los cortes con la elipse de esta dirección nos determinan los vértices extremos de este eje. El eje menor es una línea perpendicular a la anterior. 

Para construir ahora las elipses a distinta escala hacemos las figuras homotéticas de los ejes, por ejemplo, unimos el vértice que tiene el número tres con el centro del homotecia O y esa línea la dividimos en cinco partes, tomando dos de ella, tenemos por tanto que por 2/5 de este segmento pasa el vértice del extremo mayor de la elipse azul.

Para la elipse de color rosa tenemos que la amarilla la debemos transformar en otra 7/3 mayor, por tanto hacemos una recta que pase por el punto 3 y la dividimos en tres partes hasta este punto, a continuación prolongamos la recta cuatro unidades más con la dimensión anterior, teniendo así el número siete. De esta manera hemos hecho una recta de tres unidades que pasa a tener siete unidades, esto quiere decir 7/3 mayor. 

Con los otros vértices de los ejes hacemos exactamente lo mismo y dibujamos por tanto elipses proporcionales desde un centro, lo que se llama un homotecia. Si hacemos las tangentes comunes a las tres elipses tenemos que se cortan siempre en el centro de la homotecia O.

Dada una elipse amarilla, se trata de construir otra elipse homotética de la anterior de razón ¾, sabiendo que el centro de la transformación es el punto O.

Si hacemos una recta cualquiera OM que una el centro O de la homotecia con cualquier punto de la elipse M y dividimos este segmento, conforme al teorema de Tales, en cuatro partes iguales (hacemos una recta cualquiera que pase por el centro O y tomamos sobre ella 4 cm, uniendo el punto cuatro con M tenemos la dirección de la línea de la que vamos a hacer paralelas por los demás puntos, nos interesa la que pasa por el punto 3, la intersección de la paralela que pasa por éste punto con la línea OM es el punto transformado de la elipse). En realidad tomamos tres partes de las cuatro en las que queda dividido, obteniendo así el punto M’. Hacemos lo mismo con todos los puntos de la elipse: hacemos una recta que pasa por el centro y por cualquier punto de al elipse y tomamos ¾ de esta recta, de esta manera se van obteniendo todos los puntos del elipse ¾ menor.

Tenemos una circunferencia amarilla de la que queremos construir circunferencias proporcionales a la misma desde un centro O. La razón de proporción es 4/5 para la circunferencia azul c. Si construimos una recta tangente verde a la circunferencia amarilla desde el centro O tenemos que  unir el punto de tangencia 5 con el centro O, dividimos éste segmento en cinco partes y tomamos cuatro, por el punto número cuatro tenemos la circunferencia tangente a la anterior y 4/5 menor.

Si la razón de homotecia en vez de ser de 4/5 es de -4/5 tenemos que la circunferencia aparece por el lado opuesto al vértice, en un homotecia negativa como es este caso las figuras están separadas por el centro O, por lo que en este caso la razón negativa genera una circunferencia c en color rojo que aparece a la derecha del dibujo. Tenemos por último la circunferencia 8/7 mayor que la circunferencia dada original, el procedimiento es el mismo, no obstante si queremos prescindir del cálculo de las tangentes podemos unir el centro de la circunferencia amarilla 7 con O y dividir este segmento en siete partes, aumentando una parte tenemos el centro de la nueva circunferencia, (en el dibujo aparece con el número ocho). Si unimos un punto cualquiera P de la circunferencia amarilla con su centro siete tenemos la dirección que vamos a seguir para obtener el punto de la nueva circunferencia ocho septimos mayor: por el centro de la circunferencia ocho hacemos una recta paralela a la dirección 7P hasta que corta a la recta OP en el punto P’. La circunferencia de centro ocho y radio 8P’ es la circunferencia 8/7 mayor que la anterior.

En la figura tenemos un pentágono regular de color amarillo A que lo transformamos mediante una homotecia en otros pentágonos regulares de diferente escala. El pentágono de color naranja es la mitad del anterior por lo que su escala es un medio, mientras que el pentágono azul mayor es 7/4 más grande que el amarillo, ya que podemos tomar un vértice del pentágono amarillo y unirlo con el centro y tenemos cuatro unidades, que al ampliarle tres unidades a la prolongación de su segmento obtenemos un pentágono cuyas líneas de crecimiento son 7/4.

Si queremos transformar el pentágono azul B en otro de la misma escala pero mediante una razón de homotecia negativa -1/1, tomaremos los segmentos que definen cada vértice del pentágono con el centro y los prolongaremos hacia la derecha tomando distancias iguales, el nuevo pentágono es del mismo tamaño y relaciona sus vértices con el anterior mediante una simetría central de centro O. 
Si queremos construir un pentágono de razón -4/5 respecto al pentágono azul, tomaremos 4/5 de los segmentos que unen el centro con cada uno de los vértices, de esta manera obtenemos el nuevo pentágono de color verde. Cuando decimos que el pentágono es -4/5 quiere decir que si un lado del pentágono azul mide cinco, cualquier lado del pentágono verde mide cuatro. El signo negativo quiere decir que la transformación deja ambas figuras opuestas respecto al centro de homotecia. Cuando las dos figuras están del mismo lado la homotecia es positiva.