Semejanzas

Semejanza es el producto de una homotecia por un movimiento.

Semejanza de figuras
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Razón de semejanza
En 2 figuras semejantes razón de semejanza es el cociente de dos lados homólogos.

Forman grupo:
1- Operación interna: el producto de 2 semejanzas es otra semejanza.
2- Es asociativa
3- Tiene elemento neutro que es la semejanza unidad o igualdad de figuras.
4- Posee elemento simétrico que es el paso de A’ a A.

Propiedades
1- Reflexiva: toda figura es semejante a sí misma
2- Simétrica: Si una figura es semejante a otra, ésta lo es a la 1ª
3- Transitiva: Si una figura es semejante a otra, y ésta a una 3ª, la 1ª lo es a la 3ª.



Los triángulos A y B son homotéticos y B se transforma en C mediante un giro de centro M. Una homotecia más un giro, esto es, el producto de una homotecia más un movimiento hace que A y C sean semejantes pero no homotéticos (ya que la homotecia debe conservar la alineación de los puntos homólogos de los triángulos con el centro N). Por tanto A B C son todos semejantes entre sí pero sólo A y B son homotéticos.


Aquí observamos una homotecia cuyo centro está en el punto A. el segmento CD se transforma en el segmento C’D’ ampliándose su escala a 8/5. De igual forma el segmento BC se transforma en el segmento B’C’a la misma escala, 8/5. El hecho de que el segmento AD se transforme en A’D’ en una relación de 8/5 significa que los dos triángulos ACD y AC’D’ teniendo uno de sus lados transformado a 8/5, los demás también se transforman en igual medida sí tienen como es en este caso los lados paralelos, ya que todos los lados se escalan proporcionalmente.



Para transformar este polígono regular de color violeta en el polígono regular azul dado el lado, se coloca sobre uno de los rayos que parte del centro y que va a alinear el lado del polígono azul, paralelo al lado del polígono violeta.
Se desplaza de forma que, como en las traslaciones, se mantenga el paralelismo del segmento respecto al original hasta que corte a otro rayo que pase por el centro y el vértice del polígono violeta. En el momento en que el lado del polígono azul desplazado corte a ese rayo tenemos que hemos colocado el lado del polígono en el lugar exacto para construirlo de manera que los dos polígonos quedan concéntricos.


Aquí observamos un triángulo que se transforma a escala 5/8 desde el centro c. Siguiendo el procedimiento de escalado, hacemos un segmento desde el centro de la homotecia y tomamos ocho unidades con la regla unimos el ocho con A y por el cinco hacemos una paralela hasta que corta al lado en el punto T. Por éste. Hacemos una recta paralela TD a la recta AM. Tenemos entonces que los lados de los dos triángulos son paralelos o coincidentes y que todos los puntos están alineados con el centro de proyección.


Una circunferencia verde de radio tres se transforma desde su centro en otra de color violeta de radio cinco. Decimos que las dos son homotéticas por transformarse desde un centro O de manera que son circunferencias concéntricas transformadas en una razón de 5/3.

Un ejercicio que se puede resolver mediante homotecia, se trata de hacer del cuadrado mayor posible dentro de este triángulo, de manera que las bases de ambos sean colineales. Se construye un cuadrado cualquiera con un vértice incidente en un lado del triángulo y coincidente en la base con el mismo. Por el vértice inferior izquierdo del triángulo se hace una recta que pase por el vértice superior derecho del cuadrado hasta que corte al lado del triángulo. A partir de este punto de intersección con el lado del triángulo hacemos los lados paralelos al cuadrado original obteniendo así el cuadrado azul, el de mayor dimensión cuyos vértices tocan a dos lados del triángulo y cuyas bases son coincidentes.