Proporcionalidad

Proporción

Razón es el cociente de 2 números, esto es, el número fraccionario a/b, siendo el numerador a el antecedente y el denominador b el consecuente.

Proporción es la igualdad entre 2 razones: a/b = c/d. La proporción es directa si la razón de cada par de valores es constante y es inversa cuando el producto de cada par de valores es constante.

Una cantidad homogénea es aquella que corresponde a una misma magnitud. La razón o cociente entre dos cantidades homogéneas es la que expresa el valor de la primera cantidad, tomando la segunda como unidad.
Cantidades heterogéneas son aquellas relativas a magnitudes distintas.

La razón inversa es aquella que tras el producto consigo misma da la unidad.
Por ejemplo, la inversa de 3/5 es 5/3, ya que 3/5 × 5/3 es igual a 1.

Una proporción es la igualdad entre dos razones.
a/b=c/d, a d se llaman extremos y b c medios.
Por ejemplo, 6/3 =8/4, ya que ambas son igual a 2.

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

6/3=8/4, 6x4=24, 3x8=24

A uno cualquiera de los términos de la proporción se le llama cuarto proporcional.

Proporción continua es la que tiene iguales los medios con los extremos.

3/6=6/12

En una proporción continua cada uno de los términos iguales se le llama media proporcional, mientras que a los términos desiguales se les llama tercero proporcional.
3/6=6/12, 6 es el medio proporcional, mientras que el 3 y el 12 son terceros proporcionales.

La media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los otros dos términos.

Un tercero proporcional es igual al cociente entre el cuadrado del medio proporcional y el otro tercero.

Una proporción a/b= c/d se puede escribir permutando los medios a/ c = b /d , permutando los extremos d/b = c/a, invirtiendo las razones b/a=d/c , o permutando las razones anteriores c/d = b/a, b/d=a/c, c/a=d/b, d/c=b/a

En toda proporción, cada antecedente es a su consecuente como la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes.
a/b= c/d = a+c/b+d

En toda proporción, cada antecedente es a su consecuente como la diferencia de antecedentes es a la diferencia de los consecuentes.
a/b= c/d = a-c/b-d

En toda proporción la suma de antecedentes es a la suma de consecuentes como la diferencia de antecedentes es a la diferencia de consecuentes.
a+c/b+d= a-c/b-d

Proporcionalidad entre rectas
Si un par de rectas son cortadas por un conjunto de rectas paralelas equidistantes, los segmentos correspondientes son proporcionales.

Las figuras siguientes son proporcionales pues tienen sus lados proporcionales, 3 unidades de una figura corresponden a 5 de la otra, y ello se cumple en todos los lados. Ello quiere decir que una figura es 3/5 de la otra, o bien que ésta es 5/3 del anterior. Hacer la escala 5/3 significa coger el segmento dividirlo en tres partes y sumarle dos, con lo cual la dimensión tres pasa a ser dimensión cinco. Hacer un segmento a escala 3/5, significa dividir el segmento en cinco partes y tomar tres de las cinco.

Un caso de proporcionalidad para el teorema de Pitágoras.

Proporcionalidad directa e inversa

En la figura podemos observar a la izquierda un ejemplo de proporcionalidad directa, mientras que a la derecha un ejemplo de proporcionalidad inversa.
Proporcionalidad directa
En el ejemplo de la izquierda, observamos un triángulo cuyos catetos miden 1,5 unidades y 2,5 unidades. El cateto menor es al cateto mayor como el cateto menor es al cateto mayor del triángulo que se solapa con él. Podemos observar el triángulo mayor que tiene como catetos dos unidades - el correspondiente al menor- y tres unidadesdes- correspondiente al mayor.
Si queremos calcular por ejemplo este último cateto en caso de que no nos lo dieran, por proporcionalidad tenemos que el cateto menor es al mayor del triángulo pequeño como sucede también en el triángulo mayor, por lo tanto:

1,53/2,25 =2 /x ,

al despejar la incógnita obtenemos el valor del cateto mayor del triángulo mayor, que era loque se pedía.

Proporcionalidad inversa
En la derecha demos un ejemplo diferente de proporcionalidad, cuando se habla de proporción inversa quiere decir que cuando una relación sube por un lado, pues baja por otro, como ejemplo sin en un coche vamos a mayor velocidad tardaremos menos tiempo, es un caso de proporcionalidad inversa: a más velocidad menos tiempo. Si queremos representar esto gráficamente ya no tendremos como en el caso anterior triángulos semejantes sino que aparece una hipérbola equilátera, de esta manera cuanto más nos vamos alejando por el eje x, o sea al darle un número mayor al x, obtenemos un número menor correspondiente al eje y, y recíprocamente.
si cuatro obreros tardan 0,25 horas en hacer un trabajo, los obreros tardarán 0,5 horas, un obrero tardará una hora, y media jornada,- lo que correspondería matemáticamente a medio obrero- tardaría dos horas.
Como podemos observar el producto es siempre constante 4 × 0 25 es igual a 2 × 05 es igual a 1 × 1 es igual a un medio por dos. De esta forma tenemos una relación por proporcionalidad inversa cuantos más obreros trabajan en el asunto menos tiempo tardan.
4   .    0,25  =   2 . x
x= 1/2, como podemos observar si cuatro obreros tardan 1/4 hora en construir el trabajo, dos obreros tardarán la mitad, un medio.




Cuaterna armónica

En la figura podemos ver un cuadrilátero completo en color rojo, al prolongar los lados dos a dos, obtenemos en la intersección de esas rectas los puntos C, B. Si hacemos las diagonales del cuadrilátero obtenemos en la intersección de la recta CB otros dos puntos GH, estos cuatro puntos alineados forman una cuaterna armónica: GB/GC=HB/HC. (1).

Se puede verificar esta relación de proporción ya que al hacer un giro de el segmento GC y ponerlo vertical y Obteniendo GJ y al hacer otro giro del segmento GB Obtenemos GI al ponerlo vertical. De igual forma al girar CH obtenemos HL y al girar HB obtenemos HK. Como podemos ver en la figura IG/GJ=KH/HL, que es la misma expresión que tenemos en (1).

Se puede verificar la proporcionalidad que existe entre estos segmentos también mediante las coronas circulares amarilla y verde: ambas son proporcionales desde el centro B, y efectivamente se puede verificar en el dibujo que el radio Mayor de la amarilla dividido entre el radio menor es proporcional a la corona circular verde en los radios correspondientes, ambas son semejantes y se pueden transformar una en la otra desde el centro de proyección B. 

De forma gráfica podemos verificar la veracidad de esta relación, no obstante la Cuaterna armónica queda definida por un cociente negativo:  GB/GC=HB/HC= -1, detalle que a nivel gráfico es irrelevante.